Himpunan , Logika, Relasi dan Fungsi

Himpunan

1 Hipunan Kosong
Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak punya anggota.
{ } atau 0
Contoh
1.Bilangan ganjil yang habis dibagi 2
2.Himpunan bulan-bulan yang harinya lebih dari 31 hari.

2 Himpunan Semesta
Himpunan Semesta (S) adalah himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan.
Contoh
1.S = (Benda-benda berwujud)
   A = (Cair, gas)
   B = (Padat)
2.S = (Binatang pemakan daging)
   A = (Harimau, macan)
   B = (Kucing , Hiu)
   C = (Anjing, serigala

Diagram Venn
Diagram Venn adalah perkumpulan anggota yang digambarkan dengan persegi panjang dan dipojok kiri atas diberi simbol S.
Contoh                  
1.S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)         
   A = (1, 3, 5, 7, 9)
   B = (6, 7, 8, 9, 10)

 

Irisan Himpunan

Irisan Himpunan adalah himpunan yang anggotanya menjadi anggota A juga anggota B
dilambangkan dengan A ∩ B dibaca himpunan A irisan B.
Contoh

 

 

A = (2, 3, 4)

B = (1, 4, 5)
A ∩ B = (4)

Gabungan Himpunan
Gabungan Himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja dan anggota dari A∩ B.
Contoh

A = (2, 3, 4)
B = (1, 4, 5)
A ∩B = (1, 2, 3, 4, 5)         

Selisih Himpunan
Selisih Himpunan adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi anggota B yang disebut selisih himpunan A dan B, ditulis A - B.
Contoh
S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
A = (1, 2, 5)
B = (1, 2, 3, 4)
Tentukan selisih himpunan berikut!
1. A - B = (5)
    A = (1, 2, 5)
    B = (1, 2, 3, 4)
2. B - A = (3, 4)

  

Logika

Ingkaran Pernyataan atau negasi
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.
Contoh :

Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.
Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran

 

Pernyataan Majemuk
a. Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan

b. Disjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan

 

c. Implikasi
Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan . 

 

d. Biimplikasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan .

 

4) Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

 

5) Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

 

Relasi dan Fungsi

 

a. Pengertian relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai kata relasi, seperti relasi dagang, relasi keluarga, relasi kerja, dan lain-lain. Relasi sering diartikan sebagai hubungan, begitu pula dalam matematika. Jika ada himpunan A dan himpunan B, maka relasi (hubungan) dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota A ke himpunan B (Junaedi, dkk, 1999: 1). Menurut Rusoni (1998: 127) relasi dari himpunan A ke himpunan B (ditulis: R: A ® B) adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Kemudian menurut Rusoni (1998: 128) dikatakan bahwa daerah asal dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan pertama, disebut domain. Sedangkan daerah hasil/range dari suatu relasi adalah himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan kedua, disebut kodomain.

b. Cara menyatakan dua himpunan yang berelasi

Ada tiga cara untuk menyatakan relasi, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Dalam diagram panah, relasi dua himpunan dihubungkan melalui tanda panah dan himpunan-himpunan dibuat dalam kurva tertutup. Untuk menyatakan dalam diagram Cartesius, relasi dua himpunan dihubungkan dengan tanda titik-titik tebal (noktah-noktah) dan himpunan yang pertama disebutkan ditulis dalam sumbu x, sementara yang kedua ditulis dalam sumbu y. Sedangkan untuk menyatakan relasi dalam himpunan pasangan berurutan, relasi dua himpunan dibuat dalam satu himpunan yang antara anggota dua himpunan yang berelasi dipisahkan dengan tanda kurung biasa, sehingga tiap anggota himpunan mempunyai pasangannya. Selain itu dalam urutan penulisan tidak boleh terbalik, yaitu himpunan yang pertama disebutkan ditulis di depan himpunan yang kedua. Guna memperjelas menyatakan relasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan diberikan contoh di bawah ini. Contoh :

Jika P = {1, 3, 5} dan Q = {2, 4, 6}, nyatakan himpunan P ke himpunan Q yang relasinya “kurang dari” dengan :

1) Diagram panah

2) Diagram Cartesius

3) Himpunan pasangan berurutan

Jawab :

1) Diagram panah

2) Diagram Cartesius

Himpunan Q

3) Himpunan pasangan berurutan

{(1,2), (1,4), (1,6), (3,4), (5,6)}

Berdasarkan pengertian dan cara menyatakan dua himpunan yang berelasi, maka dapat dikatakanbahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang mengaitkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Di dalam menyatakan dua himpunan yang berelasi dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

2. Pemetaan (Fungsi)

a. Pengertian pemetaan/fungsi

Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x).

b. Grafik pemetaan

Untuk menggambarkan grafik suatu pemetaan dapat dilakukan dalam diagram Cartesius. Jika suatu pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan bilangan cacah (C), maka grafik dibuat dengan noktah-noktah (titik-titik besar). Hal ini dikarenakan anggota terbatas/berhingga. Tetapi bila pemetaan mempunyai daerah asal anggota himpunan real, maka banyaknya pasangan dua himpunan tak terhingga, sehingga grafiknya berupa ruas garis yang melalui titik-titik yang dibuat.

Contoh :

Suatu pemetaan f(x) --> 2x + 1 dengan daerah asal {x½0£ x £ 3, x Î R}. Tentukan daerah hasil fungsi dan grafiknya !

Jawab :

Daerah asal = {x½0£ x £ 3, x Î R}, misal x = 0, 1, 2, 3

f(x) --> 2x + 1 dapat ditulis f(x) = 2x + 1

misal untuk x = 0 --> f(0) = 2.0 + 1 = 1

x = 1 --> f(1) = 2.1 + 1 = 3

x = 2 --> f(2) = 2.2 + 1 = 5

x = 3 --> f(3) = 2.3 + 1 = 7

Jadi daerah hasilnya = {1, 3, 5, 7}

Contoh:

Tentukan banyaknya kemungkinan pemetaan dari A = {a, b} ke B = {1, 2} dengan cara digambar dengan diagram panah dan rumus !

Jawab :

Dengan diagram panah :

Dengan demikian banyaknya kemungkinan pemetaan dari ke B ada 4.

Dengan rumus :

n(a) = 2 dan n(b) = 2, maka banyaknya pemetaan dari A ke B = n(b)pangkat n(a) atau 2pangkat2 = 4. Berdasarkan uraian pemetaan di atas dapat disimpulkan bahwa Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B (Djunaedi, 1999: 5). Fungsi dari A ke B sering dinotasikan dengan f: x --> y (dibaca: f memetakan x ke y) dan x anggota A, sedangkan y anggota B dan y merupakan bayangan x atau y = f(x). Banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dapat dicari dengan digambar dengan diagram panah dan rumus.

3. Korespondensi Satu-satu

a. Pengertian korespondensi satu-satu

Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B, dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A.

Contoh :

Dari diagram panah berikut tentukan manakah yang merupakan korespondensi satu-satu

(i) (ii) (iii)

Jawab :

Gb. (i) dan (iii) merupakan korespondensi satu-satu.

Gb. (ii) bukan korespondensi satu-satu sebab ada anggota B yang tidak mempunyai pasangan dan ada pula yang mempunyai lebih dari satu.

b. Menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari dua himpunan yang diketahui banyak anggotanya

Seperti telah diketahui bahwa syarat korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah bila banyak anggota A sama dengan banyak anggota B atau n(A) = n(B). Misalnya untuk korespondensi satu-satu dari himpunan A = {1, 2} ke himpunan B = {a, b}, jika dibuat diagram panahnya dari A ke B yang mungkin sebagai berikut

Ternyata untuk himpunan A dan B yang banyak anggotanya 2 hanya mungkin dibuat dua buah korespondensi satu-satu. Menurut Subagyo (2001: 1) banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai n anggota adalah n !, di mana n ! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n. Jika permasalahan dua himpunan di atas dihitung dengan rumus, maka dapat diperoleh n = 2, sehingga banyaknya cara yang mungkin untuk mengadakan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B yang mempunyai 2 anggota adalah 2 ! = 1 x 2 = 2.